limites

COLEGIOS DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE OAXACA

NOMBRE DE LA MATERIA: CÁLCULO DIFERENCIAL

NOMBRE DEL PROFESOR: ING.JOEL ALEGRIA SALINAS

NOMBRE DE LA ALUMNA: MIRIAM LÒPEZ BERNARDINO

NOMBRE DEL TRABAJO: LIMITES.

SEMESTRE: QUINTO      GRUPO: 501

LUGAR Y FECHA: SAN MIGUEL TALEA DE CASTRO  VILLA ALTA OAXACA A 15 DE  AGOSTO DEL 2011

LIMITES: Límites

Un límite es hasta donde podemos llegar, son los valores cercanos a aquel valor en el cual la función se indetermina, es decir, en donde el valor de la función sería . A éste valor se le conoce como c

Teoremas de Límites:

Teorema principal de límites: Sean n un número entero positivo, k una constante y f y g funciones con límites en c:

Teorema de sustitución: Si f es una función polinomial o una función racional, entonces:

Siempre que el denominador para c no sea cero en caso de una función racional.

Por ejemplo, en los siguientes ejercicios se calcularán los límites de las diferentes funciones, aplicando tanto el teorema principal de límites como el teorema de sustitución:

162

32

7/5

Límites Trigonométricos:

Ejemplo:

Continuidad

Una función es continua cuando, al graficarla, ésta no se corta en ninguno de sus puntos. También se dice que es continua si no se da el caso de que con algún valor se indetermine.

Continua Discontinua

También tiene que cumplir con las siguientes reglas:

• existe

• existe

Derivación: Una derivada es la relación de cambio; un cambio en la función entre el cambio de la variable cuando ésta tiende a cero.En cálculo, al cambio de valor en una variable se le llama incremento. También en otras palabras se puede decir que la derivada es una tangente; una tangente es la pendiente de la recta que une a dos puntos.

en Y = (Y2 - Y1)

en X = (X2 - X1)

Se sabe que la formula para calcular la pendiente de una recta es:

Aplicando el teorema de los límites se tiene:

Tomando en cuenta que f(x2) es igual a f(x+x), se sustituye en la ecuación anterior:

Por lo que se deduce que:

=

Las fórmulas se usan para derivar cualquier tipo de ecuación. Es el método más sencillo, porque además es directo, y es poco probable cometer errores una vez que se domina.

Derivadas de Orden Superior

Esto se trata solamente de obtener una derivada después de haber obtenido otra derivada de una ecuación original. Por ejemplo:

Obtener la segunda derivada de y = Sen2x

Máximos y Mínimos

Un máximo es el mayor valor que puede tomar una función. Un mínimo es el menor valor que puede tomar la misma función. Existen dos maneras de calcular máximos y mínimos:

A.

·  Derivar la función

·  Despejar el valor de x en el resultado de derivar

·  Dar un valor menor y otro mayor al obtenido

·  Sustituir los valores del paso 3 en la ecuación derivada.

·  Si al sustituir se observa que el resultado del menor valor es mas pequeño que el del mayor valor, entonces se tiene un mínimo, de lo contrario será un máximo

Ejemplo:

f'(49) = 2

f (50) = 2 500 Máximo

f' (51) = -2

B.

·  Derivar la derivada de la función original

·  Si el resultado obtenido es un número negativo, obtendremos un máximo, y si es positivo, será un mínimo

Problemas

A las 7 A. M. Un barco estaba a 70 millas en dirección este de un segundo barco. Si el primero navega hacia el oeste a 20 mi/h, y el segundo al sudoeste a 30 mi/h, ¿en qué momento se encontrarán más cerca uno de otro?

Se va a construir una cisterna de base cuadrada para contener 12000 ft2 de agua. Si la tapa metálica cuesta el doble que los lados y la base de concreto, ¿cuáles son las dimensiones más económicas de la cisterna?

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·  Sumar el incremento a cada variable

·  Restar la ecuación original a la ecuación obtenida después de sumar los incrementos

·  Se obtiene una nueva ecuación

·  A ésta nueva ecuación, dividir cada uno de sus términos entre x

---

·  Obtener el límite de la nueva ecuación que se obtuvo al dividir entre x

---

·  El resultado será igual a la derivada.

Límites infinitos

Considere que simplemente los valores de 0,1,2,3,4,5 .... permitiendo de esta manera que crezca o decrezca pero sin dejar atras la definicion de limite entonces en conclusion se podría determinar que la función se acercaría al limite por un infinito de números pero nunca tocando el limite

Teorema1

Sea f una función que esta definida en todo número de algún intervalo abierto (a+∞) el limite de f(x) cuando x crece sin limite, es L lo que se escribe como:

Teorema2 Sea f una función que esta definida en todo número de algún intervalo abierto(-∞,a). El limite de f(x) cuando x decrece sin limite, es L, lo que se escribe como

Teorema3

Sea n cualquier entero positivo, entonces

Límite por la derecha

El límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < x - a < δ, entoces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

Límite por la izquierda

El límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es igual a L, si ∀ε>0, existe un δ > 0 tal que si 0 < a - x < δ, entonces |f(x) - L| < ε. Lo anterior se denota como:

TEOREMA:  Existe el limite si y solo si los dos limites laterales(por la derecha y por la izquierda) ambos existen y coinciden

Nota:aunque también es valido si consideramos que le limite vale +∞ o -∞ en lugar de 1.

Teoremas fundamentales sobre límites

Sean f y g funciones con límites en c, n un número entero y k una constante. Se tiene entonces que:

• El límite de una constante es la constante:

• El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función:

• El límite de una suma es igual a la suma de los límites:

• El límite de un producto es igual al producto de los límites:

• El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el denominador evaluado en el límite no sea cero.

, siempre y cuando

• El límite de la potencia de una función es igual a la potencia enésima del límite de la función:

• El límite de un radical enésimo de una función es igual al radical enésimo del límite de la función: