COLEGIOS DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE OAXACA
CECYTE EMSaD 59 SAN MIGUEL TALEA DE CASTRO VILLA ALTA OAXACA
MATERIA: CÀLCULO DIFERENCIAL
NOMBRE DEL PROFESOR: ING. JOEL ALEGRÍA SALINAS
NOMBRE DE LA ALUMNA: MIRIAM LÒPEZ BERNARDINO
TRABAJO: INVESTIGACIÒN
TEMA: ÁREA BAJO LA CURVA
GRUPO: 501
SEMESTRE: 5
SAN MIGUEL TALEA DE CASTRO A 27 DE AGOSTO DEL 2011
Area Bajo Una Curva -
1. INTEGRALES DEFINIDAS EL PROBLEMA DEL AREA BAJO UNA CURVA
2. Resolvamos el siguiente problema
o Hallar al área comprendida entre la curva
o y el eje x
3. Grafiquemos la curva El área solicitada es
4. Grafiquemos la curva El área solicitada es
5. Considerando un diferencial de área dA f (x) dx
6. Considerando un diferencial de área dA f (x) dx dA=f(x)*dx A=
7. Considerando un diferencial de área dA f (x) dx dA=f(x)*dx A=
8. Considerando un diferencial de área dA f (x) dx dA=f(x)*dx A= A= Unidades de área
Partiendo del método de exhausión es posible – empleando rectángulos – aproximar cualquier área. Llamemos área bajo la curva en un intervalo [a,b] a la superficie limitada por la curva, el eje x y las rectas x =a, x = b.
ÁREA ENTRE CURVAS
Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones.
El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.
Gráfica 4.
Como podemos ver en la Gráfica 4, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior.
Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así:
Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida
96.4251242515122==−¡Ö3. Si se usa una calculadora puede observarse que . 12296.43
Áreas y curvas
Otro de los grandes asuntos a los que respondió el cálculo fue el de calcular áreas bajo curvas, ya con geometría de coordenadas, y un tema que es similar al de aproximar figuras por medio de otras; en la Antigüedad se usó el método de exhausción en esa dirección. Vamos a usar básicamente el tratamiento que dimos en nuestro libro Elementos de Cálculo Diferencial. Historia y Ejercicios resueltos para indicar un ejemplo de la situación.
Usamos la curva
entre el origen
En el caso de
las alturas son:
¿Cómo se aproxima el área? Por medio de la suma de los rectángulos de base siempre
. Es decir, tenemos:
Por lo tanto:
¿Por qué?
En el caso de
rectángulos, de base
, las alturas son de la forma
y la última
¿Cómo queda el área? Así:
El problema es el segundo factor de la derecha. Pero, se podía resolver porque Pascal y Fermat habían demostrado que
Resumimos:
Había otros resultados. Por ejemplo,
Fermat había calculado (en nuestra notación)
para todo
racional, y
Se trataba de un resultado conocido por Roberval,
Torricelli y
Cavalieri, más o menos.
La función: un concepto clave
Uno de los conceptos matemáticos que tienen origen directo en los trabajos de los científicos de la época es el de función. Tanto por su interés en el mejoramiento de los métodos y al calcular la posición de los barcos navegantes a través de la luna y las estrellas, como el movimiento de objetos en caída libre o de los proyectiles, se empezó a construir el concepto de función. Éste ya se encuentra, por ejemplo, en los trabajos de Galileo. No obstante, durante todo el siglo XVII, las funciones fueron estudiadas más bien como curvas. Incluso las funciones trascendentes elementales como las logarítmicas, exponenciales o trigonométricas.
También debe mencionarse la introducción de curvas viejas y nuevas por medio de movimientos. Por ejemplo, la cicloide fue definida por
Mersenne en el año 1615. En la Antigüedad la cuadratriz y la espiral de
Arquímedes fueron definidas a través de movimiento.
Las curvas fueron agrupadas entre aquellas algebraicas y las trascendentes. Por ejemplo,
James Gregory expresó con claridad en el año 1667 que el área del sector circular no podía ser una función algebraica del radio y de la cuerda. De igual manera,
Leibniz demostró que la función
no podía ser algebraica en relación con
Puede decirse, sin embargo, que la distinción se originó en Descartes, al separar curvas
geométricas de las que él llamó
mecánicas.
